lo.logic – Interview of Connes, Caramello, and L. Lafforgue about topos principle Answer

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lo.logic – Interview of Connes, Caramello, and L. Lafforgue about topos principle

In a latest weblog put upLieven le Bruyn, discussing an interview with Connes, Caramello, and Lafforgue on France Culturewrote

Edit (YCor): here is a transcription of the interested sever of the interview. I do not comprise an English translation however computerized translators ought to give fairly an correct one.
J= journalist (Nicolas Martin, France Culture) O.C= Olivia Caramello, AC= Alain Connes, LL= Laurent Lafforgue

J: On entendait parler dans ce reportage des topos, c’est très vital, j’aimerais qu’on l’évoque maintenant, c’est la grande creation, ce que Grothendieck disait être le plus fier d’avoir créé, une volonté unificatrice des mathématiques, et pourtant, paradoxalement, pour des raisons que vous allez peut-être pouvoir m’expliquer, les uns, les unes et les autres, ces mathématiques-là ont très mauvaise presse, aujourd’hui dans la communauté mathématique, il est difficile d’effectuer des recherches et de travailler sur les topos. Alain Connes, vous avez donné des leçons au Collège de France sur les topos mais ça n’a pas duré très longtemps; vous-même Olivia Caramello, ça a été tough et vous aviez des pressions pour ne pas continuer dans cette voie. Comment est-ce que ça s’explique tout ça… euh, Alain Connes me fait signe que non.

AC: Non non! en fait, si vous voulez, non. Ça c’est a model full exterior de la réalité. La actuality, c’est que la understanding conceptuelle de topos…

J: … que vous pouvez nous rappeler, brièvement, s’il vous plait

AC: Ah! Je peux vous rappeler ce que c’est… en gros, on avait, avant Grothendieck, l’habitude, pour regarder un espace — tout le monde sait que le rôle de l’espace est assez essentiel dans la géométrie et dans les mathématiques – avant Grothendieck, on quand on voulait connaître un espace, on le regardait directement, et on essayait de le comprendre. Ce que fait l’idée du topos, qui est une idée merveilleuse, c’est… elle met l’espace dans les coulisses, et ce que l’on fait, c’est des mathématiques ordinaires avec un paramètre, ce paramètre it’s within the area in query: it’s within the coulisses. Pour vous donner l’exmple le plus unostentatious workable, supposez que l’espace en query, ce soit simplement deux factors, eh bien les mathématiques que vous faites: vous faites deux fois les mathématiques qui sont la théorie des ensemble ordinaire. Eh bien ce qui est merveilleux, dans la théorie des topos qui est la, c’est que, elle a deux caractéristiques. La première, c’est qu’en analyzer ce qui se passe dans le contexte ordinaire de la théorie des ensembles, mais fait avec paramètre dans le topos, on reach à une connaissance de cet espace (qui est l’espace des paramètres, qui est le topos) bien plus exquisite que si on l’avait regardé directement. Je ne peux pas m’empêcher de dire qu’en ce significance je suis en practice d’écrire un livre avec un psychanalyste, Patrick Gauthier-Lafaye, dans lequel on employ cette metaphore, mais par rapport à la psychanalyse. La deuxième selected, qui est completely extraordinaire, dans cette idée du topos, c’est qu’elle revient à regarder le mathématicien au travail de manière structuraliste, c’est-à-dire: le mathématicien au travail va manipulator des ensembles, mais le structuraliste va se fiche du fait que ce sont des ensembles, il va regarder le mathématicien qui manipule des objets et des flèches et il va dire: ce mathématicien travaille sur ce qu’on appelle, en mathématiques, une catégorie, et, ce structuraliste va dire, mais quelles sont les properties de cette categorie, qui font que le mathématicien peut travailler. Eh bien là on est au coeur des topos.

J: Comment expliquer, alor, Olivia Caramello que les topos — alors corrigez-moi, évidemment, si je le décris de manière trop caricaturale — aient si mauvaise presse, ou soient un champ de travail thematique qui finalement a été très vite rejeté ou repoussé par les establishments?

O.C.: En fait, j’ai réfléchi beaucoup par moi-même, en lisant Récoltes et Semailles, et too sur la abject de celle ce qui a été ma propre expérience de emulate. Effectivement j’ai reçu beaucoup d’oppositions, en fait, depuis le début de ma carrière, tout simplement parce que je voulais développer d’une façon international et systématique cette théorie, justement dans le however de réaliser cette inspiration d’unification qui avait été déjà expressed by Grothendieck, notamment dans Récoltes et Semailles. Donc all mon travail de recherche a été dirigé verse le however d’élaborer des strategies, des méthodes, pour transferr des connaissances entre des events complètement différentes des mathématiques par le biais des topos. Donc en fait, les topos peuvent être utilisés de façon incroyablement efficaces comme des objets-ponts pour relier des textes mathématiques les plus divers les us et les autres. On peut penser metaphoriquement un topos comme un lieu dans lequel des factors de vue différents se rencontrent en se reflétant les us dans les autres. Donc je donne cette metaphore pour souligner cet side d’unification, automobile je pense que c’est celui qui a vraiment engendré le plus d’hostilité. Je pense que ce n’est pas la technicalité des topos en tant qu’objet mathématique comme d’autres objets — bien sûr il ya toute une technicalité, la théorie est quand meme très sophistiquée, très profonde, sur le blueprint purement method — mais ce n’est pas l’side method qui a été à l’origine de l’ostracisme. Je pense que c’est vraiment cette dimension international et interdisciplinaire qui dérange les gens. Aujourd’hui les mathématiques sont devenues hyper-specialisées donc chaque spécialiste travaille dans son coin avec ses propres strategies, il s’habitue à penser d’une certaine façon. Or avec ces ponts, qu’on reach à engdrer avec les topos, on peut arriver notamment à demontrer un résultat dans un secteur des mathématiques en utilisant des mathématiques complètement étrangères à ce secteur-là. On individuals arriver à établir des ponts entre des secteurs complètement éloignés en apparence et donc on individuals arriver chez un spécialiste d’un inescapable domaine avec un résultat qui le surprend beaucoup, qu’on reach à démontrer avec des méthodes qui ne sont pas les siennes . Donc vous pouvez déjà comprendre que ça peut être inquiétant pour certains si on n’a pas assez d’ouverture d’esprit pour accepter cette pluralité de factors de vue. Donc je pense qu’il ya un inescapable dogmatisme, dans un inescapable cercle mathématique, qui fait qu’on s’habitue à un inescapable language, et après, on se renferme, en quelque sorte, après des années d’hyper-spécialisation. Il faut quand me comprendre que travailler dans n’importe quel secteur des mathématiques aujourd’hui demande un investissement method gargantuan, donc c’est quand meme humainement compréhensible qu’on s’affectionne beaucoup à certaines méthodes et après on dit “je ne veux pas voir other chose”. Moi, ça m’est reach plusieurs fois que je donne des exposés or par instance je presente dans un domaine qui n’est pas le mien…

J: for instance?

O.C.: la théorie des modèles, par exemple, ça m’est arrivé de démontrer un résultat parmi mes premieres, où je faisais une copious generalization du théorème de Fraïssé, en théorie des modèles, qui est un résultat très vital, et en fait, dans l ‘auditoire, je me rappelle bien, un théoricien des modèles vital, qui ne pouvait pas croire que mon résultat était rectify, as a result of que c’était trop général. Et en fait il a passé all l’après-midi à essayer de trouver un counter-example, bien sûr sans y parvenir, as a result of que ma demonstration était all-à-fait correcte… Sauf qu’il était formulé dans un langage que lui, il m’a dit “Je ne me mets meme pas à essayer de comprendre, parce que de toute façon, je ne vais pas y arriver”, il me l’a dit comme ça. Alors il a préféré passer quatre heures de son temps, il me tourmentait aussi parce que moi j’étais là, il essayait de me fabriquer tous ces contre-examples, ça a été assez pénible (rire)… c’est juste pour from thunder to an thought. I want that my interdisciplinaire qui dérange… en fait il ya beaucoup d’different points évidemment.

J: Laurent Lafforgue, un mot, parce que vous, vous avez quitté le milieu académique pour passer dans le privé, et parce que dans le privé, en l’happening, votre employeur vous demande de travailler sur les topos, et utilise cet outil, qui a l’mannerism d’être particulièrement efficace, pour des travaux appliqués, qui ont l’mannerism d’être des travaux passionnants et effectifs.

LL: oui, c’est une histoire qui est totalement stupéfiante pour moi, que je n’aurais jamais imaginé il ya encore quelques années. Depuis une dizaine d’années, en fait depuis que je connais Olivia Caramello et ses travaux, je suis devenu, dans le monde académique, un enthusiastic supporteur du développement de la théorie des topos, et comme toutes les personnes qui ont voulu développer les topos ou contribuer à leur evolution, je me suis heurté pour cela à une très grande hostilité, et à ma totale astonish, j’ai trouvé, dans a milieu d’ingénieurs, en l’happening de la firm Huawei, en France, des oreilles beaucoup plus favorables. C’est une selected que je n’aurais jamais attendu, qui me stupéfie aujourd’hui encore. Et donc, depuis quelques mois, j’ai quitté le monde académique, je suis chez Huawei, mon environnement est constitué d’ingénieurs et de responsables de la hiérarchie de la recherche de Huawei qui sont totalement favorables au développement des topos, qui pensent dès aujourd’hui, c’est-à-dire seulement quelques années après avoir appris l’actuality de cette théorie, qu’elle est extraordinarily importante, et, certains parmi eux pensent que les topos de Grothendieck vont devenir, ou peuvent devenir, les mathématiques de l’tidings artificielle. Donc, c’est-à-dire, quelque selected d’une consequence completely gargantuan. Pour moi c’est inimaginable, parce que ça fait 60 ans que la théorie des topos a été introduite par Grothendieck, qu’elle a été développée par lui, déjà à longueur de centaines et de centaines de pages, que lui-même, dont tout le monde sait qu’il est l’un des plus grands génies scientifiques de l’histoire a énormément insisté sur la puissance des topos, sur l’consequence des topos, meme au-delà des mathématiques. En fait dans Récoltes et Semailles, un inescapable nombre de pages sont consacrées à ça: Grothendieck dit pourquoi les topos sont tellement importants à ses yeux; il le dit dans des termes que les mathématiciens peuvent comprendre, mais aussi, que meme un lecteur qui ne connaît pas les mathématiques peut être wise à la beauté et à la profondeur de ce que dit Grothendieck quand il parle des topos. Donc il a écrit ses pages-là, et ça n’a eu aucun effet dans le monde académique. Donc là il ya un mystère, que Grothendieck lui-même ne s’explique pas: il constate cette hostilité, il ne la comprend pas. Olivia vient de proposer des éléments d’explication, mais pour moi ça reste un mystère. En fait les topos sont un sujet wise et c’est weird, parce que, habituellement quand on dit qu’un sujet wise, on comprend un sujet wise c’est par exemple un sujet politique, sur lequel les gens ne s’accordent pas . On ne comprend pas qu’un sujet scientifique, qu’une definition théorique puisse être un sujet wise, or en fait elle l’est. C’est un fait, que personnellement je ne m’explique pas, ou en all cas, pas de manière satisfaisante.

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